若f（tx₁，tx₂，…tx_n）=t^kf（x₁，x₂，…x_n），则称n元函数是k次齐次函数．证明：设f（x，y，z）可微，函数f（x，y，z）以）是k次齐次函数xf′_x+yf′_y+zf′_z=kf（x，y，z）。（提示：必要性，对等式f（tX，ty，tz）=t^kf（x，y，z）两端关于t求导数，然后令t=1。充分性。将等式中的x，y，z分别换成tx，ty，tZ，有txf′_x（tx，ty，tz）+tyf′_y（tx，ty，tz）+tzf′_z（tx，ty，tz）=kf（tx，ty，tz）改写为tf′_t（tx，ty，tz）=kf（tx，ty，tz）或，两端关于t求积分，再确定常数C。）