李某系K市一养猪场老板，因其养殖场未依法办理建设项目环境影响登记表的备案，便动工建设、开始养猪，被K市环境保护局处以4万元罚款。李某不服，准备提起行政复议；并请托朋友找到K市政府工作人员张某，私下给张某2万元，希望其可以在帮忙走动，在行政复议中撤销对其处罚。张某收下了李某的钱，但复议维持了对其的处罚。李某心生不满，6月2日将张某约至其车上理论。当晚张某失踪，家人报案，6月4日张某尸体被发现在离张某家不远处的河边。侦查机关排查线索中，得知李某与张某近期发生矛盾，6月5日对李某立案侦查。
后K市检察院以李某故意杀人罪提起公诉，并提供如下证据：
1.李某的供述：“2号我把张某约到车上，我在驾驶位，他坐在副驾驶，我问他要给他的2万元，他不给，说虽然没有办成，但是他到处帮我问人，这个钱算他的辛苦费。不仅如此，他还问我接着要钱，说不然的话，就继续让环保局的去想办法查我。我越听越生气，表面上答应他，说要去后备箱取下钱，实际上我到后备箱拿了养猪场的套猪器，然后从后排座位把他勒死在了副驾驶上。然后我开车到了河边，把他尸体扔进去。
2.洗车店员工丁一的证言：6月3号一大早李某就来洗车了，并且车外部很干净，只是让我们使劲冲洗副驾驶。我们觉得很奇怪，怀疑是不是昨天半夜在车里有凶杀，在清洗现场。
3.饭店服务员大可的证言：6月2日中午，李某和张某来饭店吃饭，两个人喝了两斤多白酒，明显喝高了，走路摇摇晃晃。
4.侦查人员在李某养猪场搜查所得的一把套猪器，但由于疏忽未附提取笔录。
5.法医死亡鉴定：张某系机械性窒息导致的死亡，因尸体浸泡较久，无法判断具体致死方式，不排除溺亡或被人缢颈的可能。
在庭审中，李某翻供并提出其口供是遭受非法取证所得，事实上在其与张某在车上理论后，张某答应归还李某私下送给的2万元，于是二人重归于好，李某还请张某至饭店共同吃饭、饮酒，张某还戏称“买卖不成仁义在”。饭后李某提出送张某回家，张某提出自己离家不远，想走回去，到河边散散步醒醒酒。于是二人在饭店分开，各自回家。李某自己开车回家，途中因饮酒过量而呕吐在副驾驶上，所以才前往洗车。
李某向法院陈述了侦查人员赵某于6月6日对其讯问时的非法取证过程，赵某表示，如若李某不承认犯罪，便将其第二天要参加高考的儿子一并抓起来。李某辩护人申请排除非法证据。人民检察院播放了讯问李某时的全程录像，但录像只有画面没有声音。人民法院认为取证手段合法性存疑，确有必要通知该案侦查人员出庭，但侦查人员以有公务在身为由，并未到庭，提供了其本人签名、公安局盖章的情况说明。
请根据现有证据及相关法律规定，分析法院应当如何做出判决？