张强创作了书稿《走进大自然》后，与甲出版社签订图书出版合同。合同的约定中包括：张强把《走进大自然》的图书专有出版权授予甲出版社。甲出版社按照基本稿酬加印数稿酬的方式，向张强支付稿酬；基本稿酬的标准为50元/千字，印数稿酬的标准为1%，均按照国家版权局规定的方法计付；稿酬应在《走进大自然》一书出版后两个月内向张强支付。
合同签订后10天，张强按约向甲出版社交付了作品誊清稿，并随附一封信，说明图书上的作者姓名署笔名“楚天”。该书的责任编辑当即复信，除确认稿件已经收到外，表示对其他问题“会认真考虑”。2001年12月5日，《走进大自然》一书出版，面封、扉页和版本记录中的作者姓名均为“张强”。该书一个页面排30行，每行排30字；正文部分共311面，其中的空白行共有120行；还有出版前言2面，目录3面。版权页标明的相关数据为：字数288千字，2001年12月第1版，2001年12月第1次印刷，印数3800册，定价25元。2002年3月15日，甲出版社向张强邮汇了稿酬12975.45元，并附言说明这是已经扣除个人所得税1636.55元的税后稿酬。
2002年4月，张强向法院起诉甲出版社。诉状称：第一，甲出版社没有按照作者的意愿为其在图书上署名，侵犯了作者的署名权。第二，根据出版合同约定，甲出版社最晚应在2002年2月5日前支付稿酬，但甲出版社直到2002年3月15日才支付，构成违约。第三，根据合同约定的方式和标准计算，基本稿酬应为14400元（即50元/千字×288千字），印数稿酬应为950元（即25元/册×1%×3800册），稿酬总额应为15350元；甲出版社汇寄的12975.45元加上代扣的个人所得税1636.55元，总共为14612元，少了738元。
甲出版社辩称：第一，张强要求在图书上署虚假的名字，意在欺骗读者，是不合法的，出版社不应支持，所以只能按法律规定署他的真实姓名。第二，国家规定支付图书稿酬的期限为图书出版后6个月，甲出版社向张强支付稿酬的时间并没有超过这个期限，所以并无过错。第三，张强认为稿酬总额应为15350元，是计算方法有误；出版社支付总数为14612元的稿酬，实际上已经多付了，但因这是出版社有关人员工作失误造成的，也就不要求张强返还了。

甲出版社是否侵犯了张强的署名权？为什么？